Среднее квадратическое отклонение на графике. Среднеквадратическое отклонение
18. Среднее квадратическое отклонение, методика расчета, значение.
Приближенный метод оценки колеблемости вариационного ряда - определение лимита и амплитуды, однако не учитывают значений вариант внутри ряда. Основной общепринятой мерой колеблемости количественного признака в пределах вариационного ряда является среднее квадратическое отклонение (σ - сигма) . Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем степень колеблемости данного ряда выше.
Методика расчета среднего квадратического отклонения включает следующие этапы:
1. Находят среднюю арифметическую величину (Μ).
2. Определяют отклонения отдельных вариант от средней арифметической (d=V-M). В медицинской статистике отклонения от средней обозначаются как d (deviate). Сумма всех отклонений равняется нулю.
3. Возводят каждое отклонение в квадрат d 2 .
4. Перемножают квадраты отклонений на соответствующие частоты d 2 *p.
5. Находят сумму произведений (d 2 *p)
6. Вычисляют среднее квадратическое отклонение по формуле:
при n больше 30, или при n меньше либо равно 30, где n - число всех вариант.
Значение среднего квадратичного отклонения:
1. Среднее квадратическое отклонение характеризует разброс вариант относительно средней величины (т.е. колеблемость вариационного ряда). Чем больше сигма, тем степень разнообразия данного ряда выше.
2. Среднее квадратичное отклонение используется для сравнительной оценки степени соответствия средней арифметической величины тому вариационному ряду, для которого она вычислена.
Вариации массовых явлений подчиняются закону нормального распределения. Кривая, отображающая это распределение, имеет вид плавной колоколообразной симметричной кривой (кривая Гаусса). Согласно теории вероятности в явлениях, подчиняющихся закону нормального распределения, между значениями средней арифметической и среднего квадратического отклонения существует строгая математическая зависимость. Теоретическое распределение вариант в однородном вариационном ряду подчиняется правилу трех сигм.
Если в системе прямоугольных координат на оси абсцисс отложить значения количественного признака (варианты), а на оси ординат - частоты встречаемости вариант в вариационном ряду, то по сторонам от средней арифметической равномерно располагаются варианты с большими и меньшими значениями.
Установлено, что при нормальном распределении признака:
68,3% значений вариант находится в пределах М1
95,5% значений вариант находится в пределах М2
99,7% значений вариант находится в пределах М3
3. Среднее квадратическое отлонение позволяет установить значения нормы для клинико-биологических показателей. В медицине интервал М1 обычно принимается за пределы нормы для изучаемого явления. Отклонение оцениваемой величины от средней арифметической больше, чем на 1 указывает на отклонение изучаемого параметра от нормы.
4. В медицине правило трех сигм применяется в педиатрии для индивидуальной оценки уровня физического развития детей (метод сигмальных отклонений), для разработки стандартов детской одежды
5. Среднее квадратическое отклонение необходимо для характеристики степени разнообразия изучаемого признака и вычисления ошибки средней арифметической величины.
Величина среднего квадратического отклонения обычно используется для сравнения колеблемости однотипных рядов. Если сравниваются два ряда с разными признаками (рост и масса тела, средняя длительность лечения в стационаре и больничная летальность и т.д.), то непосредственное сопоставление размеров сигм невозможно, т.к. среднеквадратическое отклонение - именованная величина, выраженная в абсолютных числах. В этих случаях применяют коэффициент вариации (Cv) , представляющий собой относительную величину: процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.
Коэффициент вариации вычисляется по формуле:
Чем выше коэффициент вариации, тем большая изменчивость данного ряда. Считают, что коэффициент вариации свыше 30 % свидетельствует о качественной неоднородности совокупности.
| " |
Средняя величина - это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой.
Существует 2 класса средних величин: и .
К структурным средним относятся мода и медиана , но наиболее часто применяются степенные средние различных видов.
Степенные средние величины
Степенные средние могут быть простыми и взвешенными .
Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке по следующей общей формуле:
Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:
Где X – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;
m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин
:
при m = -1 ;
при m = 0 ;
при m = 1 ;
при m = 2 ;
при m = 3 .
Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида, которые будут далее подробно рассмотрены.
Средняя арифметическая
Средняя арифметическая - это самая часто используемая средняя величина, которая получается, если подставить в общую формулу m=1. Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:
Где X - значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N - общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности).
Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической простой: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.
Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:
Где f - количество величин с одинаковым значением X (частота).
Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.
Если значения X заданы в виде интервалов, то для расчетов используют середины интервалов X, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала. А если у интервала X отсутствует нижняя или верхняя граница (открытый интервал), то для ее нахождения применяют размах (разность между верхней и нижней границей) соседнего интервала X.
Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет. Тогда рассчитаем средний стаж работников по формуле средней арифметической взвешенной, приняв в качестве X середины интервалов стажа (2, 4 и 6 лет):
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 года.
Средняя арифметическая применяется чаще всего, но бывают случаи, когда необходимо применение других видов средних величин. Рассмотрим такие случаи далее.
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая применяется, когда исходные данные не содержат частот f по отдельным значениям X, а представлены как их произведение Xf. Обозначив Xf=w, выразим f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:
Таким образом, средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны частоты f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда все w=1, то есть индивидуальные значения X встречаются по 1 разу, применяется формула средней гармонической простой:
Например, автомобиль ехал из пункта А в пункт Б со скоростью 90 км/ч, а обратно - со скоростью 110 км/ч. Для определения средней скорости применим формулу средней гармонической простой, так как в примере дано расстояние w 1 =w 2 (расстояние из пункта А в пункт Б такое, же как и из Б в А), которое равно произведению скорости (X) на время (f). Средняя скорость = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/ч.
Средняя геометрическая
Средняя геометрическая применяется при определении средних относительных изменений, о чем сказано в теме Ряды динамики . Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения X, который был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения X.
Например, в период с 2005 по 2008 годы индекс инфляции в России составлял: в 2005 году - 1,109; в 2006 - 1,090; в 2007 - 1,119; в 2008 - 1,133. Так как индекс инфляции - это относительное изменение (индекс динамики), то рассчитывать среднее значение нужно по средней геометрической: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, то есть за период с 2005 по 2008 ежегодно цены росли в среднем на 11,26%. Ошибочный расчет по средней арифметической дал бы неверный результат 11,28%.
Средняя квадратическая
Средняя квадратическая применяется в тех случая, когда исходные значения X могут быть как положительными, так и отрицательными, например при расчете средних отклонений.
Главной сферой применения квадратической средней является измерение вариации значений X, о чем пойдет речь .
Средняя кубическая
Средняя кубическая применяется крайне редко, например, при расчете индексов нищеты населения для развивающихся стран (ИНН-1) и для развитых (ИНН-2), предложенных и рассчитываемых ООН.
Структурные средние величины
К наиболее часто используемым структурным средним относятся и .
Статистическая мода
Статистическая мода - это наиболее часто повторяющееся значение величины X в статистической совокупности.
Если X задан дискретно , то мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. В статистической совокупности бывает 2 и более моды, тогда она считается бимодальной (если моды две) или мультимодальной (если мод более двух), и это свидетельствует о неоднородности совокупности.
Например, на предприятии работает 16 человек: 4 из них - со стажем 1 год, 3 человека - со стажем 2 года, 5 - со стажем 3 года и 4 человека - со стажем 4 года. Таким образом, модальный стаж Мо=3 года, поскольку частота этого значения максимальна (f=5).
Если X задан равными интервалами , то сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой f. Внутри этого интервала находят условное значение моды по формуле:
Где Мо – мода;
Х НМо – нижняя граница модального интервала;
h Мо – размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей);
f Мо – частота модального интервала;
f Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет. Рассчитаем модальный стаж работы в модальном интервале от 3 до 5 лет: Мо = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (года).
Если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.
Статистическая медиана
Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой - меньше медианы.
Если X задан дискретно , то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания , тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).
Например, имеются данные о возрасте студентов-заочников в группе из 10 человек - X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 лет. Эти данные уже упорядочены по возрастанию, а их количество N=10 - четное, поэтому медиана будет находиться между X с номерами 0,5*10=5 и (0,5*10+1)=6, которым соответствуют значения X 5 =21 и X 6 =23, тогда медиана: Ме = (21+23)/2 = 22 (года).
Если X задан в виде равных интервалов , то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле:
Где Ме – медиана;
Х НМе – нижняя граница медианного интервала;
h Ме – размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей);
f Ме – частота медианного интервала;
f Ме-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному.
В ранее рассмотренном примере при расчете модального стажа (на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет) рассчитаем медианный стаж. Половина общего числа работников составляет (10+20+5)/2 = 17,5 и находится в интервале от 3 до 5 лет, а в первом интервале до 3 лет - только 10 работников, а в первых двух - (10+20)=30, что больше 17,5, значит интервал от 3 до 5 лет - медианный. Внутри него определяем условное значение медианы: Ме = 3+2*(0,5*30-10)/20 = 3,5 (года).
Также как и в случае с модой, при определении медианы если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.
Показатели вариации
Вариация - это различие значений величин X у отдельных единиц статистической совокупности. Для изучения силы вариации рассчитывают следующие показатели вариации : , , , , .
Размах вариации
Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями X из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:
Недостатком показателя H является то, что он показывает только максимальное различие значений X и не может измерять силу вариации во всей совокупности.
Cреднее линейное отклонение
Cреднее линейное отклонение - это средний модуль отклонений значений X от среднего арифметического значения. Его можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой - получим :
Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. = 4. Рассчитаем среднее линейное отклонение простое: Л = (|3-4|+|4-4|+|4-4|+|5-4|)/4 = 0,5.
Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим :
Вернемся к примеру про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. = 4 и = 0,5. Рассчитаем среднее линейное отклонение взвешенное: Л = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.
Линейный коэффициент вариации
Линейный коэффициент вариации - это отношение среднего линейного отклонение к средней арифметической:
С помощью линейного коэффициента вариации можно сравнивать вариацию разных совокупностей, потому что в отличие от среднего линейного отклонения его значение не зависит от единиц измерения X.
В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, линейный коэффициент вариации составит 0,5/4 = 0,125 или 12,5%.
Дисперсия
Дисперсия - это средний квадрат отклонений значений X от среднего арифметического значения. Дисперсию можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой - получим дисперсию простую :
В уже знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил оценки: 3, 4, 4 и 5, = 4. Тогда дисперсия простая Д = ((3-4) 2 +(4-4) 2 +(4-4) 2 +(5-4) 2)/4 = 0,5.
Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет дисперсии выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим дисперсию взвешенную :
В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию взвешенную: Д = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2 *2+(5-4) 2 *1)/4 = 0,5.
Если преобразовать формулу дисперсии (раскрыть скобки в числителе, почленно разделить на знаменатель и привести подобные), то можно получить еще одну формулу для ее расчета как разность средней квадратов и квадрата средней:
Еще проще можно найти среднее квадратическое отклонение , если предварительно рассчитана дисперсия, как корень квадратный из нее:
В примере про студента, в котором выше , найдем среднее квадратическое отклонение как корень квадратный из нее:.
Квадратический коэффициент вариации
Квадратический коэффициент вариации - это самый популярный относительный показатель вариации:
Критериальным значением квадратического коэффициента вариации V служит 0,333 или 33,3%, то есть если V меньше или равен 0,333 - вариация считает слабой, а если больше 0,333 - сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной , а средняя величина - нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности.
В примере про студента, в котором выше , найдем квадратический коэффициент вариации V = 0,707/4 = 0,177, что меньше критериального значения 0,333, значит вариация слабая и равна 17,7%.
Кроме математического ожидания случайной величины которое. определяет положение центра распределения вероятностей, количественной характеристикой распределения случайной величины является дисперсия случайной величины
Дисперсию будем обозначать D [х] или .
Слово «дисперсиям означает рассеивание. Дисперсия является числовой характеристикой рассеивания, разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания.
Определение 1. Дисперсией случайной величины называется матемйтическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания.(т. е. математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной, случайной величины):
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Иногда, для характеристики рассеивания, удобнее пользоваться величиной, размерйость которой совпадает с размерностью случайной величины. Такая величина - среднеквадратичное отклонение.
Определение 2. Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
или в развернутом виде
Среднеквадратичное отклонение обозначают также
Замечание 1. При вычислении дисперсии формулу (1) бывает удобно преобразовать так:
т. е. дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата математического ожидания случайной величины.
Пример 1. Производится один выстрел по объекту. Вероятность попадания . Определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
Решение. Строим таблицу значений числа попаданий
Следовательно,
Чтобы представить смысл понятия дисперсии и среднеквадратичного отклонения как характеристики рассеивания случайной величины, рассмотрим примеры.
Пример 2. Случайная величина задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 413):
Пример 3. Случайная величина задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 414):
Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднеквадратичное отклонение.
Рассеивание, разброс случайной величины в первом примере меньше рассеивания случайной величины во втором примере (см. рис. 414 и 415). Дисперсии этих величин соответственно равны 0,6 и 2,4.
Пример 4; Случайная величина задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 415):
Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднеквадратичное отклонение.
По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:
Определите:
1) размах вариации;
2) средний размер вклада;
3) среднее линейное отклонение;
4) дисперсию;
5) среднее квадратическое отклонение;
6) коэффициент вариации вкладов.
Решение:
Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.
Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.
1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:
Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.
2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.
Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.
Среднее значение первого интервала будет равно:
второго - 500 и т. д.
Занесём результаты вычислений в таблицу:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | xf |
|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | 9600 |
| 400-600 | 56 | 500 | 28000 |
| 600-800 | 120 | 700 | 84000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 93600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 96800 |
| Итого | 400 | - | 312000 |
Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:
3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:
Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:
1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).
2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:
3. Полученные отклонения умножаются на частоты:
4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:
5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:
Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 480 | 15360 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 280 | 15680 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 80 | 9600 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 120 | 12480 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 320 | 28160 |
| Итого | 400 | - | - | - | 81280 |
Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.
4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.
Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:
Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:
1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).
2. Находят отклонения вариант от средней:
3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:
4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):
5. Суммируют полученные произведения:
6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):
Расчёты оформим в таблицу:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 230400 | 7372800 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 78400 | 4390400 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 6400 | 768000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 14400 | 1497600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 102400 | 9011200 |
| Итого | 400 | - | - | - | 23040000 |
Вариация — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а, следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. Следовательно по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию.
Изменение вариации признака в совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных показателей.
Абсолютные показатели вариации включают:
Размах вариации (R)
Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака
Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой .
Пример
. Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет.
Решение: размах вариации = 9 — 2 = 7 лет.
Для обобщенной характеристики различий в значениях признака вычисляют средние показатели вариации, основанные на учете отклонений от средней арифметической. За отклонение от средней принимается разность .
При этом во избежании превращения в нуль суммы отклонений вариантов признака от средней (нулевое свойство средней) приходится либо не учитывать знаки отклонения, то есть брать эту сумму по модулю , либо возводить значения отклонений в квадрат
Среднее линейное и квадратическое отклонение
Среднее линейное отклонение — это из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.
Среднее линейное отклонение простое:
Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет.
В нашем примере: лет;
Ответ: 2,4 года.
Среднее линейное отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:
Среднее линейное отклонение в силу его условности применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе качества продукции с учетом технологических особенностей производства).
Среднее квадратическое отклонение
Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от :
Среднее квадратическое отклонение простое:
Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:
Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение: ~ 1,25.
Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.
Дисперсия
Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.
Дисперсия простая:
В нашем примере:
Дисперсия взвешенная:
Более удобно вычислять дисперсию по формуле:
которая получается из основной путем несложных преобразований. В этом случае средний квадрат отклонений равен средней из квадратов значений признака минус квадрат средней.
Для несгрупиированных данных:
Для сгруппированных данных:
Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие — нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым признаком, обозначают буквой , а долю единиц, не обладающих этим признаком — через . Учитывая, что p + q = 1 (отсюда q = 1 — p), а среднее значение альтернативного признака равно
,
средний квадрат отклонений
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным свойством (), на долю единиц, данным свойством не обладающих ().
Максимальное значение средний квадрат отклонения (дисперсия) принимает в случае равенства долей, т.е. когда т.е. . Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация. Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:
Так, если в изготовленной партии 3% изделий оказались нестандартными, то дисперсия доли нестандартных изделий , а среднее квадратическое отклонение или 17,1%.
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической.
Относительные показатели вариации
Относительные показатели вариации включают:
Сравнение вариации нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, а тем более по различным признакам с помощью абсолютных показателей не представляется возможным. В этих случаях для сравнительной оценки степени различия строят относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей вариации к средней:
Рассчитываются и другие относительные характеристики. Например, для оценки вариации в случае асимметрического распределения вычисляют отношение среднего линейного отклонения к медиан
так как благодаря свойству медианы сумма абсолютных отклонений признака от ее величины всегда меньше, чем от любой другой.
В качестве относительной меры рассеивания, оценивающей вариацию центральной части совокупности, вычисляют относительное квартильное отклонение , где — средний квартиль полусуммы разности третьего (или верхнего) квартиля () и первого (или нижнего) квартиля ().
На практике чаще всего вычисляют коэффициент вариации. Нижней границей этого показателя является нуль, верхнего предела он не имеет, однако известно, что с увеличением вариации признака увеличивается и его значение. Коэффициент вариации является в известном смысле критерием однородности совокупности (в случае нормального распределения).
Рассчитаем коэффициент вариации на основе среднего квадратического отклонения для следующего примера. Расход сырья на единицу продукции составил (кг): по одной технологии при , а по другой — при. Непосредственное сравнение величины средних квадратических отклонений могло бы привести к неверному представлению о том, что вариация расхода сырья по первой технологии интенсивнее, чем по второй (. Относительная мера вариации ( позволяет сделать противоположный вывод
Пример расчета показателей вариацииНа этапе отбора кандидатов для участия в осуществлении сложного проекта фирма объявлила конкурс профессионалов. Распределение претендентов по опыту работы показало средующие результаты:
Вычислим средний производственный опыт работы, лет
Рассчитаем дисперсию по продолжительности опыта работы
Такой же результат получается, если использовать для расчета другую формулу расчета дисперсии
Вычислим среднее квадратическое отклонение, лет:
Определим коэффициент вариации, %:
Правило сложения дисперсий
Для оценки влияния факторов, определяющих вариацию, используют прием группировки: совокупность разбивают на группы, выбрав в качестве группировочного признака один из определяющих факторов. Тогда наряду с общей дисперсией, рассчитанной по всей совокупности, вычисляют внутигрупповую дисперсию (или среднюю из групповых) и межгрупповую дисперсию (или дисперсию групповых средних).
Общая дисперсия характеризует вариацию признака во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов и условий.
Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка:
Внутригрупповая дисперсия оценивает вариацию признака, сложившуюся по влиянием других, неучитываемых в данном исследовании факторов и независящую от фактора группировки. Она определяется как средняя из групповых дисперсий.
Все три дисперсии () связаны между собой следующим равенством, которое известно как правило сложения дисперсий:
на этом соотношении строятся показатели, оценивающие влияние признака группировки на образование общей вариации. К ним относятся эмпирический коэффициент детерминации () и эмпирическое корреляционное отношение ()
() характеризует долю межгрупоовой дисперсии в общей дисперсии:
и показывает насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.
Эмпирическое корреляционное отношение (!!\eta = \sqrt{ \frac{\delta^2}{\sigma^2} }
оценивает тесноту связи между изучаемым и группировочным признаками. Предельными значениями являются нуль и единица. Чем ближе к единице, тем теснее связь.
Пример. Стоимость 1 кв.м общей площади (усл.ед) на рынке жилья по десяти 17-м домам улучшенной планировки составляла:
При этом известно, что первые пять домов были построены вблизи делового центра, а остальные — на значительном расстоянии от него.
Для рассчета общей дисперсии вычислим среднюю стоимость 1 кв.м. общей площади: Общую дисперсию определим по формуле:
Вычислим среднюю стоимость 1 кв.м. и дисперсию по этому показателю для каждой группы домов, отличающихся месторасположением относительно центра города:
а) для домов, построенных вблизи центра:
б) для домов, построенных далеко от центра:
Вариация стоимости 1 кв.м. общей площади, вызванная изменением местоположения домов, определяется величиной межгрупповой дисперсии :
Вариация стоимости 1 кв.м. общей площади, обусловленная изменением остальных неучитываемых нами показателей, измеряется величиной внутригрупповой дисперсии
Найденные дисперссии в сумме дают величину общей дисперсии
Эмпирический коэффициент детерминации :
показывает, что дисперсия стоимости 1.кв.м. общей площади на рынке жилья на 81,8% объясняется различиями в расположении новостроек по отношению к деловому центру и на 18,2% — другими факторами.
Эмприческое корреляционное отношение свидетельствует о существенном влиянии на стоимость жилья месторасположения домов.
Правило сложения дисперсий для доли
признака записывается так:
а три вида дисперсий доли для сгруппированных данных определяется по следующим формулам:
общая дисперсия:
Формулы межгрупповой и внутригрупповой дисперсий:
Характеристики формы распределения
Для получения представления о форме распределения используются показатели среднего уровня ( , ), показатели вариации, ассиметрии и эксцесса.
В симметричных распределениях средняя арифметическая, мода и медиана совпадают (. Если это равенство нарушается — распределение ассиметрично.
Простейшим показателем ассиметрии является разность , которая в случае правосторонней ассиметрии положительна, а при левосторонней — отрицательна.
Ассиметричное распределение
Для сравнения ассиметрии нескольких рядов вычисляется относительный показатель
В качестве обобщающих характеристик вариации используются центральные моменты распределения -го порядка , соответствующие степени, в которую возводятся отклонения отдельных значений признака от средней арифметической:
Для несгруппированных данных:
Для сгруппированных данных:
Момент первого порядка согласно свойству средней арифметической равен нулю .
Момент второго порядка является дисперсией .
Моменты третьего и четвертого порядков используются для построения показателей, оценивающих особенности формы эмпирических распределений.
С помощью момента третьего порядка измеряют степень скошенности или ассиметричности распределения.
— коэффициент ассиметрии
В симметричных распределениях , как все центральные моменты нечетного порядка.Неравенство нулю центрального момента третьего порядка указывает на асимметричность распределения. При этом, если , то асимметрия правосторонняя и относительно максимальной ординаты вытянута правая ветвь; если , то асимметрия левосторонняя (на графике это соответствует вытянутости левой ветви).
Для характеристики островершинности или плосковершинности распределения вычисляют отношение момента четвертого порядка () к среднеквадратическому отклонению в четвертой степени (). Для нормального распределения , поэтому эксцесс находят по формуле:
Для нормального распределения обращается в нуль. Для островершинных распределений , для плосковершинных .
Эксцесс распределения
Кроме показателей, рассмотренных выше, обобщающей характеристикой вариации в однородной совокупности служит определенный порядок в изменении частот распределения в соответствии с изменениями величины изучаемого признака, называемый закономерностью распределения .
Характер (тип) закономерности распределения может быть выявлен путем построения вариационного ряда на основании большого объема наблюдений, а также такого выбора числа групп и величины интегралов, при котором наиболее отчетливо могла бы проявиться закономерность.
Анализ вариационных рядов предполагает выявление характера распределения (как результата действия механизма вариации), установление функции распределения, проверку соответствия эмпирического распределения теоретическому.
Эмпирическое распределение , полученное на основе данных наблюдения, графически изображается эмпирической кривой распределения с помощью полигона.
На практике встречаются различные типы распределений, среди которых можно выделить симметричные и асимметричные, одновершинные и многовершинные.
Установить тип распределения, означает выразить механизм формирования закономерности в аналитической форме. Многим явлениям и их признакам свойственны характерные формы распределения, которые аппроксимируются соответствующими кривыми. При всем многообразии форм распределения наибольшее распространение в качестве теоретических получили нормальное распределение, распределение Пауссона, биноминальное распределение и др.
Особое место в изучении вариации принадлежит нормальному закону, благодаря его математическим свойствам. Для нормального закона выполняется правило трех сигм, по которому вариация индивидуальных значений признака находится в пределах от величины средней. При этом в границах находится около 70% всех единиц, а в пределах — 95%.
Оценка соответствия эмпирического и теоретического распределений производится с помощью критериев согласия, среди которых широко известны критерии Пирсона, Романовского, Ястремского, Колмогорова.
Популярное
- Скидки в метрике в связи с закрытием
- Сеть гипермаркетов "Эссен": отзывы и фото Торговый центр эссен парфюмерные наборы
- История создания игры World Of Tanks
- Смайл техподдержка телефон
- Телефон компании смайл. Личный кабинет смайл
- Подключение передней панели к материнской плате: инструкции и рекомендации
- Удаление всех модов world of tanks
- Открытие PSW файлов Программы, открывающие файл PSW
- Mpv Расширение файла. Чем открыть файл.MPV? Программы, которые откроют файл MPV
- Простейший индикатор уровня заряда батареи Ошибки при подключении